Alexandre a posé la question dans Sciences et mathématiquesMathématiques · il y a 2 mois

Il n’y pas plus de Réels que d’Entiers, et sans doute moins?

En cours de mathématique on nous apprend qu’il y a une infinité d’Entiers, que le cardinal de l’ensemble N est infini, que le cardinal de l’ensemble R est infini aussi, mais plus grand. Il y a plus de Réel que d’Entier. Tout cela c’est très bien en Math, mais tous les concepts mathématiques n’existent pas en réalité. Qu’en est-il dans le monde réel ?

Dans le monde réel l’infini n’existe pas. Voici un lien vers une autorité de référence si cela vous aide à être convaincu https://www.futura-sciences.com/sciences/questions...

Pour savoir s’il y a plus de Réel ou d’Entiers je peux faire une simulation. D’un côté je compte les réels, et de l’autre les entiers. Je vais trouver plus d’entier au bout du même temps de calcul, car il est plus compliqué de fabriquer les Réels, et je compte les Réels avec des Entiers.

On peut voir également comme conséquence que l’Univers ne peut être infini.  On suppose pour expliquer son homogénéité que l’Univers observable était d’une très petite taille au départ, et qu’il a subi une dilatation pharamineuse et très courte. Même d’une très petite taille (on suppose actuellement qu’il y a une limite inférieure de taille) il était quand même supposé infini (supposons...). L’Univers lointain à cet époque n’était donc pas  homogène, et si tout s’est dilaté en même temps, c’est un Univers différent. Le nôtre n’est donc pas infini…

Qu’en pensez-vous ?

Mise à jour:

Sans conclure le sujet, nous allons écrire que dans notre vie quotidienne il y  a plus de nombres à virgule, car nous ne manipulons que des petits nombres. Par ailleurs cela n'étonnera personne qu'il n'y ait pas plus de décimaux que d'entiers...

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7 réponses

Évaluation
  • oyubir
    Lv 6
    il y a 2 mois
    Réponse favorite

    Les maths sont ce qu'on veut en faire. L'infini existe en maths, si j'en ai décidé ainsi.

    Il n'en va pas de même en physique, où on pourrait bien décider qu'un réel n'en en réalité qu'un multiple d'une constante de Planck donnée (selon ce dont on parle, ce ne sera pas la même constante). Le terme "quantique" signifie d'ailleurs cela : multiple (entier) d'un certain nombre, cad que tout est une quantité (entière) de qqc.

    Mais même cela, ce n'est aussi qu'un modèle mathématique.

    On peut décider de modéliser la taille d'un bout de pain avec des réels de ℝ, en faisant la supposition absurde que le couteau est aussi fin que je veux, et donc qu'on peut toujours à l'infini couper un bout de pain en deux. Ce modèle rend bien compte de la réalité jusqu'à un certain point.

    Ou décider de modéliser sa taille par un nombre de quanta, cad un nombre de ℏℕ, ce qui rend compte du fait qu'on ne peut pas diviser à l'infini (mais crée une fausse arithmétique modulo sur un problème qui reste quand même continu ; l'épaisseur du couteau, ce n'est pas tout à fait la même chose que la discrétisation des positions possibles du couteau).

    Tout ça ce sont des choix de modèles.

    Je ne sais pas pourquoi je dis tout cela. J'ai commencé à répondre avec la ferme intention de ne pas consacrer plus de 2 lignes à cet aspect, puisque je suis certain que vous savez déjà tout ça, et que vous voulez jouer avec nous, inspiré par des questions plus récentes d'un autre. Mais je me suis laissé entrainer.

    Bref, ce que je voulais surtout dire dans ma réponse que j'imaginais courte, c'est qu'il y a quand même une faille dans votre petit jeu. Facile à corriger, mais en attendant, elle est là : ce n'est pas plus long de compter les réels puisqu'il suffit de compter ceux d'entre eux qui sont entiers pour être sur un pied d'égalité avec celui qui compte les entiers.

    Dans votre jeu, si  je compte les réels et que vous comptez les entiers, je n'ai qu'à dire exactement la même chose que vous, et on aura donc compté exactement autant de nombres l'un et l'autre dans exactement le même temps. Donc, déjà, adieu la preuve qu'il y a plus d'entiers. Et en plus, à la fin du temps fixé (car toute votre "preuve" tient dans le fait qu'il y en a un) quand on aura les deux énuméré tous les nombres entiers (et donc réels aussi) de 1 à N, je pourrais arguer du fait qu'il ne vous reste "plus" que les entiers supérieurs à N en réserve, alors que moi il me restait en réserve tous ceux là, plus l'infinité de réels que j'ai zappé en dessous de N, en comptant avec vous.

    Je vous conseille donc de réviser à la baisse vos ambitions, et montrer qu'il n'y a pas 2 fois plus de réels que d'entiers.

    En changeant les règles du jeu : vous comptez les entiers, et moi je compte les réels autres que les entiers.

    Là, je vais galérer plus que vous. Et à la fin du temps imparti, quand vous en aurez compté N, moi j'en aurais compté seulement N'<N. Qui s'ajoutent bien sur au N qui étaient aussi des réels.

    Là vous pourriez, avec votre logique étrange, dire que, en tous cas, les réels non entiers sont moins nombreux que les entiers.

    Donc, ajoutés aux entiers, ils sont moins de deux fois plus nombreux que les entiers.

    Et donc, au final, pas plus nombreux du tout que les entiers, puisqu'il est facile de montrer que si un ensemble infini énumérable est au plus 2 fois plus grand qu'un autre, c'est qu'il n'est pas plus grand que l'autre.

    Il suffit de faire une fonction d'énumération, et de lui coupler la blague des nombres pairs, ou de ℤ aussi grand que ℕ.

    (si A et B sont énumérables, il existe une façon u(n) et v(n) d'énumérer A et B: la suite u(n) couvre tous les A, la suite v(n) couvre tous les B. Si B est deux fois plus grand que A, c'est donc que à chaque n, on peut associer deux éléments de B au lieu de 1 seul de A. Donc qu'on peut aussi écrire que u(n) couvre tous les A, tandis que v1(n) et v2(n), à elles deux, avec le même n, couvrent tous les B. Il suffit alors de définir v(2k)=v1(k) et v(2k+1)=v2(k) pour avoir un v(n) qui énumère à lui seul B. Et donc qui n'est pas plus grand que A. Bref, de toutes façons les ensembles énumérables ont par définition tous la même taille : celle de ℕ. Je me lance là dans une démonstration impossible : la démonstration d'une évidence)

    Bref, c'est corrigeable. Mais pour l'instant, même avec votre logique, que je me suis efforcé d'adopter, votre démonstration est défaillante.

  • Pierre
    Lv 7
    il y a 2 mois

    Le problème est que les mathématiques sont en elles-même une simulation du réel. Et toute simulation a ses limites, tant en structure, qu'en taille et en résolution.   On peut se poser la question de la pertinence de simuler une simulation.

    Les entiers n'ont la propriété d'être entiers justement par définition, et relativement à un choix d'échelle. Par exemple si je prends une règle graduée en cm et en pouces, la plus grande partie des traits de graduation ne correspondent pas, 5 cm exprimé en pouces c'est 1,968...donc pas entier, pourtant c'est la même longueur.

    On pourrait considérer que tous les nombres sont équivalents, à ceci près que les entiers sont les multiples de l'unité (dont le choix est arbitraire) Entre deux entiers consécutifs on peut toujours placer la moyenne des deux.  Cela suffit comme contre-exemple pour prouver que les réels sont plus nombreux que les entiers.

    .

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    • Alexandre
      Lv 7
      il y a 2 moisSignaler

      C'est valable d'une certaine manière, qui est peut-être la bonne approche. Si je prends les nombres que je manipule habituellement, et qui sont toujours plutôt "petits", il y a beaucoup de décimaux que d'entier.

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  • il y a 2 mois

    Tu sais que ce que tu dis est n'importe quoi si ce n'est que la physique n'est pas les maths ?

    Simuler des réels ?

    Tu sais que tu n'en es pas capable ? Au mieux tu obtiendras des nombres décimaux qui sont une PARTIE des nombres rationnels.

    Or il y a « autant » de nombres rationnels que d'entier, au sens qu'il existe une bijection entre les deux (parcours les en zigzaguant perpendiculairement à la diagonale principale d'un repère (x,y). Ce n'est qu'un peu plus compliquer que de montrer qu'il y a autant d'entiers pairs ou impairs que d'entiers (pairs ET impairs).

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    • Pierre
      Lv 7
      il y a 2 moisSignaler

      Il n'y a aucune manière de modéliser la réalité de manière exacte.  Une carte n'est pas un territoire, si détaillée et si complète qu'elle soit, jamais on n'y fera pousser de quoi manger !

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  • il y a 2 mois

    Que l'univers ne soit pas infini ok. Mais cela ne change pas la relation entre les nombres entiers et réels. Prenons un univers fini tout simple, une sphère de rayon 1. Dans cette sphère les entiers que tu peux obtenir vont de 0 à 4 (son volume étant un peu plus grand que 4). En revanche, le nombre de réels que tu peux obtenir dedans est déjà infini. Puisqu'il y a la suite U0 = 0.1, Un+1=Un/10 (donc 0.01, 0.001, ...)

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    • Alexandre
      Lv 7
      il y a 2 moisSignaler

      Suivant la logique le Rafale pourra parcourir une plus grande distance que le Piper. Il poura compter plus de kilomètres. Si le Piper a une durée de vie infinie ce sera différent, mais je suppose que ce n'est pas le cas.

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  • il y a 2 mois

    Dans le monde réel l'infini existe, c'est nous qui nions son existence par l'affirmation de notre existence. Le centrage sur soi, l'égocentrisme, le "moi d'abord et tout le reste ensuite" met des limite à tout.

    C'est notre manière de faire qui construit ce monde d'habitudes fondé sur des routines et qui, en banalisant constamment la réalité, fait de nous des gens blasés et confinés (pour employer un mot d'actualité) dans des limites

  • il y a 2 mois

    Je pense qu'il y a probablement des choses à revoir

    dans nos théories des nombres.

    Mais pas ça !

    En mathématiques, l'infini existe mais n'est ni un nombre entier,

    ni un nombre réel. (ce qui correspond à "n'existe pas en réalité").

    Ton argumentaire pour "plus d'entiers que de réels" n'en est pas un.

    Si tu comptes des entiers et des réels, tu auras rapidement plus de réels

    que d'entiers, puisque tu vas compter les subdivisions à la limite

    maximale o tu peux en faire, ou pour les entiers être rapidement bloquer

    par la marge maximale.

    Si tu considères une droite graduée.

     Mais il y a de l'idée, et je pense moi aussi probablement

    des choses à revoir. Typiquement, je pense à l’infiniment petit.

    Proche de 0.

    Il n'y a aucune limite mathématiques à la "descente" vers 0.

    Alors qu'en physique, il existe une limite : celle de Planck.

    Autre chose, les nombres relatifs et les nombres imaginaires.

    Ils sont très très très utiles en mathématiques.

    Je pense surtout aux nombres relatifs avec les entiers négatifs.

    Or en réalité, un nombre négatif ça n'existe pas !

    Un nombre décrivant des quantités.

  • il y a 2 mois

    T'moche ce visage 

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