amcg
Lv 6
amcg a posé la question dans Sciences et mathématiquesMathématiques · il y a 3 mois

Bonjour. Mathématiques. Limite de la suite: U0=1; U1=2 et U(n+2)=(U(n+1)+Un)/(U²(n+1)+U²n)?

Mise à jour:

Je précise que je ne suis pas un étudiant cherchant à se faire faire le travail par d'autres. Je fais des maths pour mon plaisir (prof à la retraite)

3 réponses

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  • oyubir
    Lv 6
    il y a 3 mois
    Réponse favorite

    La limite, L,  si elle existe, est un point fixe.

    Cad que L=(L+L)/(L²+L²)

    Donc, avec L≠0, L²=1. Donc, L=1 ou -1.

    Et il faut vérifier aussi 0, vu que ce qu'on vient de dire n'est vrai que si L≠0.

    On voit facilement que U(n)>0  (c'est le cas de U(0) et de U(1). Et par récurrence, c'est donc le cas de tout ce qui suit).

    Donc exit L=-1 déjà (pas 0 ; une suite pourrait être constituée que de termes strictement positifs, et converger asympotiquement vers 0)

    Le cas 0 s'éjecte en revenant à la définition de limite :

    ∀ε>0, ∃N, ∀n≥N, |U(n)|<ε

    Donc, si c'est vrai, ça l'est notamment pour ε=0,1 :

    ∃N, ∀n≥N, U(n)<0,1

    Et donc notamment,

    ∃N, U(N)<0.1 et U(N+1)<0.1 et U(N+2)<0.1

    Sauf que U(N+2) = (U(N+1)+U(N)) / (U²(N+1)+U²(N)) = (A+B)/(A²+B²).

    Si j'appelle A le plus grand de U(N) et U(N+1) et B l'autre.

    Donc U(N+2) ≥ A / 2A² = 1/2A > 50

    Contradiction.

    La limite n'est donc pas 0.

    Donc il nous reste que 1. Si la limite existe, c'est 1.

    Reste à prouver qu'elle existe.

    AJOUT :

    En effet, on a l'impression de l'alternance 1 au dessus, 2 en dessous. Mais de plus près on voit que ce n'est pas cela.

    Ça ressemble plutôt à une sorte de "tous les 2,8 coups c'est > 1", avec donc parfois 2 valeurs > 1 séparées par 1 seule valeur < 1, au lieu de 2.

    Bref, pas de sous-suite évidente (en tous cas pas à coup de U(3n)/U(3n+1)/U(3n+2))

    Si on s'amuse à regarder l'enveloppe en revanche (en faisant très attention à l'erreur numérique qu'on atteint très vite ici), on s'apperçoit que

    (U(n)-1)*exp(n/3) semble converger (oscille autour de 0 en décroissant).

    Alors que (U(n)-1)*exp(n/2) diverge (oscille autour de 0 avec une amplitude qui explose).

    La frontière se situant vers (U(n)-1)*exp(n/2.81).

    Ce qui laisse entendre que U(n)-1 est à peu près un équivalent de exp(-n/2.81), modulé par une sorte de sinusoide. Qui a d'ailleurs l'air régulière, et autour de sin(2πn/3). Je ne serais pas surpris outre mesure (mais j'ai pas vérifié), que ça fasse du sin(2πn/2,81)*exp(-n/2,81) à un déphasage près.

    Donc peut être qu'une méthode consiste à trouver un minorant et majorant de U(n). Du genre

    1-exp(-n/3) < U(n) < 1+exp(-n/3)

    Et prouver par récurrence qu'il est vrai pour tout n, au delà d'un certain N.

    Ou alors réfléchir un peu plus. En particulier si la coincidence qui semble de dessiner que ça ressemble à du

    sin(2πn/α+φ)×exp(-n/α)

    se confirme.

    Si c'est vrai, c'est ressemble un peu trop à une exponentielle complexe  exp(-zn) pour qu'il n'y ait pas un truc plus malin à trouver.

  • il y a 3 mois

    @oyubir donne les 2 limites possibles - si elles existent - soit les racines de L²= 1, mais en tenant compte des deux premiers termes U₁ = 1 et U₂ = 2, on établit facilement que U₃ ... Un sont positifs.

    Donc la seule limite possible est +1.

    ... et la seule "sous-suite" valide est celle qui converge vers 1 par valeurs décroissantes.

    .

  • il y a 7 jours

    Si l'on suppose qu'elle converge, alors sa limite vérifie

    l = (2l)/(2l²) soit l = 1/l

    équation dont les solutions sont 1 et -1.

    la limite est forcément 1 puisque par construction la suite est strictement positive.

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