Mis à part la distributivité, y-a-t-il une explication convaincante au fait que (-1)*(-1)=1 ?

5 réponses

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  • il y a 7 mois
    Meilleure réponse

    Voici une explication géométrique, ou visuelle (compréhensible dès la cinquième) :

    En présentant les nombres réels comme équivalents aux vecteurs d'une même droite, il devient géométriquement compréhensible que -u est le vecteur opposé au vecteur u. Dès lors, on peut interpréter le signe " - " comme une fonction qui transforme un vecteur u en son opposé.

    Conclusion :

    - Le signe donne le sens (le même sens que pour "+", le sens opposé pour "-")

    - Le nombre donne la longueur du vecteur, pas son sens (ou par défaut +, soit le même sens que)

    Conséquence logique de cette représentation :

    (-1) x a = - (1xa) = -a, qui est l'opposé de a

    (-1) x (-1) = -(-1) = 1, opposé de l'opposé de 1, donc 1.

    Note : La distributivité est hors sujet ici.

    Rappel : On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition : a x (b + c) )= axb + axc

    Ce que l'on peut expliquer à un enfant en lui disant que 5 fois un paquet de 2 bananes et 3 oranges, c'est aussi 5 fois chaque sous partie du paquet (le paquet étant symbolisé par la parenthèse), donc 5x2 bananes et 5x3 oranges

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    • Kishi-Duo-Dumas
      Lv 5
      il y a 6 moisSignaler

      Les manuels de Goursat, Hermite, Picard, ont failli récemment être jetés de la bibliothèque universitaire de Jussieu, comme obsolètes et donc néfastes (on ne les a conservés que sur mon intervention)".

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  • Julien
    Lv 7
    il y a 7 mois

    Ça découle de la définition d'un anneau.

    La définition de -1 c'est 1+(-1)=0

    En multipliant les deux membres par un nombre quelconque a on obtient -(1*a) = (-1)*a. En effet a*0=0 est vrai pour tout anneau sans que ça ait besoin de figure dans les hypothèses, on dit que 0 est absorbant.

    Donc pour le cas particulier a=-1 on a (-1)*(-1) = -(1*(-1)) = -(-1) = 1

    Tu peux vérifier que c'est aussi vrai pour Z/4Z par exemple : (-1)*(-1)=3*3=9=1

    Ou encore pour les matrices : diag(-1)*diag(-1)=diag(1)

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  • Anonyme
    il y a 7 mois

    Moins par moins ça fait plus

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  • arrial
    Lv 7
    il y a 7 mois

    Si on veut.

    Tu multiplies par -1 à droite et à gauche :

    (-1)*(-1)*(-1) = (-1)   ⇒   (-1)*(-1) = 1   (élément neutre)

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  • il y a 6 mois

    J'allez vous expliquer, mais tout a été dit avant, donc c'est inutile ! :-)

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