Quelles relations de dispersion dans un solide 2D obtient-on selon la direction?

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour comprendre comment on trouve différentes relations de dispersion suivant la direction dans un réseau monoatomique 2D de paramètre a. Les atomes sont couplés par une constante de rappel C et sont de masse M1. Je retranscris (posé sur autre forum, la lecture est plus... afficher plus Bonjour,
j'aurais besoin d'aide pour comprendre comment on trouve différentes relations de dispersion suivant la direction dans un réseau monoatomique 2D de paramètre a. Les atomes sont couplés par une constante de rappel C et sont de masse M1.

Je retranscris (posé sur autre forum, la lecture est plus claire pour les indices notamment) :
https://www.ilephysique.net/sujet-relations-de-dispersion-dans-un-conducteur-2d-309545.html


Tout d'abord on considère u(l,m) le déplacement relatif par rapport à sa position d'équilibre de l'atome situé ligne l colonne m. Ce qui donne comme équation (les quantités entre parenthèses sont en indices) :

M1*d²u(l,m)/dt² = C [u(l+1,m) + u(l-1,m) -2u(l,m) + u(l,m+1) + u(l,m-1) - 2u(l,m)] (1)


On pose u(x,y)=A*exp(i(t- k(x)*x- k(y)*y) comme déplacement. En le reportant dans (1), je trouve une relation de dispersion (je ne sais pas pour quelles directions elle est valable, toutes peut-être) :

ω(k(x),k(y)) = 2 [ √(C/M1) * √(1 - cos(((k(x) + k(y))/2))*cos(((k(x) - k(y))/2))] (2)

(Pour injecter u(x,y) dans (1) j'ai posé x=l*a, y=m*a dans le membre de gauche puis x=(l±1)*a et y=(m±1)a dans les membres de droite selon indices.)

Ce premier résultat est-il correct?
Mettre à jour: Ensuite on représente la première zone de Brillouin du réseau de centre Γ. On considère le point X de coordonnées (π/a,0) et M (π/a,π/a). Et c'est ici que je ne vois pas comment faire : on demande de trouver la relation de dispersion ω(k) le long de X puis de M. Que faut-il faire? Qu'est-ce qui change par... afficher plus Ensuite on représente la première zone de Brillouin du réseau de centre Γ. On considère le point X de coordonnées (π/a,0) et M (π/a,π/a). Et c'est ici que je ne vois pas comment faire : on demande de trouver la relation de dispersion ω(k) le long de X puis de M. Que faut-il faire? Qu'est-ce qui change par rapport à la relation (2)?

Merci d'avance pour vos réponses.
Mise à jour 2: P.S. : on demande aussi la fréquence maximale autorisée dans les deux directions (suffit-il de prendre le maximum possible pour ω?),

[Ensuite il y a la vitesse du son pour les basses fréquences (je suppose qu'un développement limité permettra d'écrire ω=v(son)*k.]
Mise à jour 3: *le long de ΓX puis de ΓM pardon
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