? a posé la question dans Sciences et mathématiquesMathématiques · il y a 1 décennie

Un rectangle inscrit dans un triangle : probleme d'optimisation?

Bonjour!

Soit un triangle équilatéral ABC de cotee a. On inscrit dans ce triangle un rectangle MNPQ. On pose x=AM. Pour quelle valeur de x l'aire du rectange est-elle maximale? (En effet, ABC est un triangle, et MNPQ est inscrit dedans, M et N se trouvent sur [AB] ; Q se trouve sur [AC] et P sur [CB]. et AM=x.

est-ce que MN= a - 2x ? et comment puis-je trouver MQ?

Merci !!

Mise à jour:

mais comment trouver AQ?

4 réponses

Évaluation
  • Anonyme
    il y a 1 décennie
    Réponse favorite

    On trace d'abord M avec AM=x.

    Puis on trace la perpendiculaire à (AB) passant par M.Elle coupe (AC) en Q.

    On trace la parallèle à (AB) passant par Q.Elle coupe (BC) en P.

    Enfin,on trace la perpendiculaire à (AB) passant par P.Elle coupe (AB) en N.

    Ainsi (MNPQ) est un rectangle.

    (AMQ) est rectangle en M.

    Donc MQ/MA=tan(60°)=V3

    Donc MQ=MAV3=xV3.

    AM/AQ=cos(60°)=1/2

    Donc AQ/AM=2

    Donc AQ=2AM=2x

    Donc CQ=AC-AQ=a-2x.

    (QP) et (AB) sont parallèles,donc on applique le théorème de Thalès et on trouve:

    QP/AB=CQ/CA

    Donc QP/a=(a-2x)/a

    Donc QP=a-2x.

    Donc l'aire de (MNPQ) est A(x)=MQ x QP

    =xV3 x (a-2x)

    =x(a-2x)V3.

    A(x)=x(a-2x)V3.

    A'(x)=V3((a-2x)-2x)

    =V3(a-4x).

    A'(x)=0 pour x=a/4.

    Alors A(x=a/4)=(a/4)(a-2a/4)V3

    =(a/4)(a-a/2)V3

    =(a/4)(a/2)V3

    =a²V3/8.

  • il y a 1 décennie

    Krys a raison, faut que tu travailles par toi même, mais pour te guider :

    Observe le triangle AMQ. Tu connais un côté (AM=x par définition), tu connais l'angle en A (Sommet d'un triangle équilatéral, et tu connais celui en M (puisque MNPQ est un rectangle). Précisément connaissant cet angle en M, c'est quel type de triangle ?

    Ensuite, un p'tit coup de trigo dans le triangle en question, en te demandant à quoi peut bien correspondre le rapport des côtés MQ/AM, soit MQ/x (aller, je t'aide encore, par rapport à l'angle en A dans ce fameux triangle AMQ).

    Voilà, maintenant tu dois connaître un des côtés du rectangle, soit MQ, exprimé par rapport à x.

    T'as plus qu'à trouver la valeur d'un autre côté, soit MN. Et oui, là tu as déjà trouvé la solution (pour raison de symétrie).

    Ensuite tu fais le produit des deux pour avoir l'aire, et tu obtiens une fonction de x. Et tu sais qu'une fonction a un minimum ou un maximum quand la dérivée s'annule... Donc tu cherches pour quelle valeur de x cette dérivée est nulle, et si c'est bien un maximum.

  • Anonyme
    il y a 1 décennie

    les triangles AMQ et BNP sont égaux (Thalès)

    MN=A-2*X

    tgte60°=QM / X

    QM=X*rac3 / 2

    surface du rectangle

    S=(A-2*X)(rac3 / 2*X)

  • Anonyme
    il y a 1 décennie

    je ne vais pas faire ton exo mais bon un ti coup de pouce :

    - tu as QP (=MN), AB, tu as également AC, n'aurais tu pas un petit théorème qui pourrait calculer AQ?

    - et donc avec AQ et AM ne pourrait-on pas trouver MQ grâce à un autre théorème sur les triangles rectangles bien connu?

    Bon calcul!

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