Anonyme
Anonyme a posé la question dans Sciences et mathématiquesPhysique · il y a 1 décennie

montrer qu'une force dérive d'une énergie potentielle?

bonjour je n'arrive pas à répondre aux 2 premières questions d'un DM de physique niveau terminale S

1) montrer que la force F= -kz(z^2-a^2)ez dérive d'une énergie potentielle d'origine en z=0 avec k et a constantes positives.

2) étudier le tableau de variations de la fonction Ep(z) puis représenter graphiquement Ep lorsque z varie de -l'infini à + l'infini

il me semble que ce n'est pas au programme de S et pourtant on nous le demande

ne l'ayant pas vu en cours je suis totalement bloqué ce qui m'empêche de résoudre l'exercice car toutes les questions découlent de ces 2 premieres questions

merci de me répondre

3 réponses

Évaluation
  • il y a 1 décennie
    Réponse favorite

    Si tu as vu le gradient (par exemple avec la gravitation), alors tu peux cherche le potentiel en écrivant que la force en dérive par le gradient :

    F = grad f = df/dx ex + df/dy ey + df/dz ez

    Si tu peux retrouver la fonction f à partir de F, alors c'est un potentiel.

    Sinon, une propriété d'une force dérivant d'un potentiel c'est que son travail entre deux points ne dépend pas du trajet suivi. Donc calcule l'intégrale de

    F.dl entre A et B quelconque et montre que le résultat ne dépend que de la position de A et B. Ça, tu as du le voir en cours (force conservative).

  • il y a 1 décennie

    1° Une force qui dérive d'un potentiel peut s'exprimer comme l'opposé du gradient d'un champ scalaire.

    En dimension 1 (comme dans ton exercice), ça veut dire que l'intensité de la force F(z) est l'opposé de la dérivée par rapport à z d'un potentiel Ep(x). C'est à dire que Ep (z) = -P'(z) (NB: on définit la fonction F(z) par: vecteur F = F(z).ez)

    Or, on remarque tout de suite que F(z) est de la forme f'.f, qui est la dérivée de 1/2.f², donc qu'on peut l'intégrer facilement.

    Conclusion: la force dérive effectivement d'un potentiel Ep(z) = k/2 (z²-a²)² + P0.

    2° Tableau de variations: Vu que Ep' = -F, on a déjà la dérivée de Ep sous la main. Le tableau de variations suit immédiatement.

  • jaglus
    Lv 7
    il y a 1 décennie

    CNS F dérive d'un potentiel Ep :

    F= - grad Ep <=> (somme circuit fermé de A à A ) F.dl =0

    F.dl = Fz.dz = -k ( z^3 - a^2 z ) dz

    primitive = FF(z) = - k ( z^4 /4 - a^2 /2 z^2 )

    = - k z^2 /4 ( z^2- 2 a^2 )

    somme integrale de z1 à z2 = FF(z2) - FF(z1) = 0 si z1=z2

    cette intégrale est bien nulle sur un circuit fermé . CQFD.

    Ep = - FF + cte

    Puisque on convient que Ep(z=0) = 0 , Ep = - FF(z)

    et F est caractérisé par ses composantes :

    Fx = Fy = 0

    Fz = - d/dz( Ep )= d/dz( FF ) correspond bien à ce dont on était parti.

    Z-> - inf : Ep = 1/4 kz^4 -> + infini

    Ep diminue et s'annule pour z= - a rac 2

    continue de diminuer jusqu'a ce que dEp/dz=0 =>F=0 soit z= -a

    F qui était jusqu'à présent dirigé vers z>0 change de sens et Fz reste <0 jusqu'à z=0.

    Pour z= - a Ep a un minimum local.

    Ep a un maximum local en z=0 ( Ep=0 ) ; Fz(0)=0

    Ep rediminue jusqu'en z= + a où il y a un minimum local

    etc : Ep(-z)=Ep(z) est symétrique par rapport à z=0

    equilibre stable pour z=+- a

    equilibre instable pour z=0

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