salirose a posé la question dans Sciences et mathématiquesMathématiques · il y a 1 décennie

pourquoi factoriel zero est egale à 1?

y a t'il une demonstration?

9 réponses

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  • il y a 1 décennie
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  • Anonyme
    il y a 1 décennie

    Non, il n'y a pas de démonstration car c'est une convention mathématique au même titre que 1+1=2.

    Cette convention a été adoptée car elle permet de rendre valables pour 0 certaines formules faisant apparaître des factorielles. C'est la raison invoquée dans le secondaire ou le début de l'enseignement supérieur.

    La raison plus profonde est que la factorielle est en fait un cas particulier de la fonction gamma d'Euler. Cette fonction est définie pour des nombres complexes et non plus pour les seuls entiers naturels.

    On a, pour n entier: n!=Gamma(n+1).

    Définition ici :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_Ga...

    La factorielle n'était donc que la partie émergée de l'iceberg!

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  • bob b
    Lv 4
    il y a 1 décennie

    c'est par convention.

    C'est une convention utile, parce qu'elle permet d'utiliser factoriel dans certaines formules.

    par exemple, n! = nx(n-1)! pour tout n.

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  • Obelix
    Lv 7
    il y a 1 décennie

    Bonsoir,

    Ce n'est en rien une convention.

    La factorielle de n (où n est un nombre entier non négatif) est égale à Gamma (n+1), où Gamma est la fonction d'Euler. (Pour un entier positif k, elle vaut k(k-1)(k-2)...2 )

    En employant cette définition, 0! = Gamma(1), qui vaut 1. (Tu trouveras sur Internet la définition de la fonction Gamma, qui contient des primitives).

    De plus, dans les problèmes de dénombrement (combinaisons, arrangements,...), 0! apparaît souvent et la seule cohérence posible s'obtient pour 0! = 1

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  • Anonyme
    il y a 1 décennie

    0! n'est pas défini de la même manière que 1!

    Car n!=produit des i,pour i de 1 à n.

    Si n=0,ce n'est pas défini.

    On convient alors d'une valeur tout à fait arbitraire.

    0!=1 permet d'étendre certaines formules qui marchent pour n>=1 à n=0.

    En particulier C(n,p)=n!/(n-p)!p!

    Si p=0,C(n,0)=n!/n!0!=1.

    A(n,p)=n!/(n-p)!

    Si p=n,A(n,n)=n!/0!=n!.

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  • il y a 1 décennie

    Juste par convention

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  • il y a 1 décennie

    0! est un produit indexé sur l'ensemble vide, c'est donc le neutre de la multiplication, soit 1.

    De même, une somme indexée sur l'ensemble vide donnera toujours 0

    @Obelix: C'est vrai que pour tout n, Gamma(n+1)=n!, mais c'est plutôt une propriété de la fonction gamma (qui se démontre QUAND x>0 avec G(x+1)=xG(x)), cela ne constitue pas la vraie définition de la factorielle

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  • Jack N
    Lv 7
    il y a 1 décennie

    c ' est par convention !=))

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  • Anonyme
    il y a 1 décennie

    Par convention ;o)

    La factorielle d'un nombre entier est le produit de tous les entiers strictement positifs et inférieurs ou égaux à ce nombre. Elle se note à l'aide d'un point d'exclammation situé après le nombre. Par exemple, la factorielle de 5 est 5! = 5*4*3*2*1 = 120 . Enfin, on note 0! = 1 par convention (cela veut dire que la factorielle de zéro est égale à un).

    Rappel mathématique : La factorielle d'un nombre entier N positif est la multiplication entre eux de tous les nombres compris entre 1 et N.

    On prend comme convention que la factorielle de 0 notée 0! et la factorielle 0 est égale à 1

    On peut également démontrer que N! = N * (N-1)!

    Démonstrations :

    http://www.ghostsinthestack.org/article-23-la-recu...

    Allez @+

    Sinon ya ça :

    En général, en mathématiques, on a recours à des ensembles de cardinal infini --- N, Z, R ou C, --- tandis qu'un ordinateur, étant par définition une machine finie, n'utilise que des ensembles finis --- donc discontinus, y compris pour les flottants. Il en résulte plusieurs problèmes : d'abord des erreurs de calculs en permanence, ensuite une limitation dans les nombres représentables. De tel sorte que, par exemple, les longs sont certes très grand, mais la factoriel l'est encore plus ! Pour différentes raisons techniques, lorsque cela devient trop grand, l'ordinateur fait un tour et c'est ainsi que ta factorielle s'annule --- 0 x n'importe quoi = 0.

    http://forum.ubuntu-fr.org/viewtopic.php?id=193324

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